SUITES AUXILIAIRES
Exercice 1:
a) Soit (Vn)n≥0 une suite telle que V0 = 2 et Vn+1 = 3Vn−2. La suite est-elle arithmétique? Géométrique?
b) Soit (Un)n≥0 définie par Un = Vn−1. Démontrer que (Un)n≥0 est une suite géométrique.
c) Exprimer Un en fonction de n.
d) En déduire Vn en fonction de n.
e) Calculer V100 .
Solution:
a) Une suite arithmétique est une suite de nombres que l’on obtient en ajoutant une constante (raison : r) au précédent.
D’une manière générale, une suite (Un) est arithmétique de premier terme U0 et de raison r, si pour tout n, Un+1=Un+r
Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, nous avons deux possibilités :
- Soit on démontre pour tout n que Un+1-Un=r (un nombre réel)
- Soit on démontre que pour tout n, Un=a+nr ( avec a et r deux réels) et dans ce cas, U0=a et la raison est r. (Attention, on peut aussi être amené à démontrer que Un=a+(n-1)r, le seul changement étant que le premier terme est U1=a)